Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時⊥？此時的值是多少？．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是橢圓．從而寫出其方程即可；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及向量垂直的條件，求出k值即可，最后通牒利用弦長公式即可求得此時的值，從而解決問題．
解答：解：
（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，
長半軸為2的橢圓．它的短半軸，
故曲線C的方程為．（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故．（6分）
，即x₁x₂+y₁y₂=0．而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是．
所以時，x₁x₂+y₁y₂=0，故．（8分）
當(dāng)時，，．，
而（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=，
所以．（12分）
點(diǎn)評：本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識解決問題的能力．