Question

已知函數(shù)f（x）=x²-bx+3，且f（0）=f（4）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，寫出滿足條件f（x）＜0的x的集合；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，3]上的值域．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閒（0）=f（4），所以圖象的對(duì)稱軸為x==2，
∴b=4，函數(shù)表達(dá)式為f（x）=x²-4x+3，
解f（x）=0，得x₁=1，x₂=3，因此函數(shù)的零點(diǎn)為：1和3
滿足條件f（x）＜0的x的集合為（1，3）
（2）f（x）=（x-2）²-1，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)，在區(qū)間（2，3）上為減函數(shù)
所以函數(shù)在x=2時(shí)，有最小值為-1，最大值小于f（0）=3
因而函數(shù)在區(qū)間（0，3]上的值域的為[-1，3）．
分析：（1）從f（0）=f（4）可得函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，用公式可以求出b=4，代入函數(shù)表達(dá)式，解一元二次不等式即可求出滿足條件f（x）＜0的x的集合；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，利用函數(shù)的單調(diào)性可以得出函數(shù)在區(qū)間（0，3]上的最值，從而可得函數(shù)在（0，3]上的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)解析式中系數(shù)與對(duì)稱軸的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性與值域問(wèn)題，屬于中檔題．只要掌握了對(duì)稱軸公式，利用函數(shù)的圖象即可得出正確答案．