Question

設(shè)a＞0，求函數(shù)f（x）=-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：由題意函數(shù)f（x）=-ln（x+a），首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系對(duì)a的大小進(jìn)行分類討論．
解答：解：由題意得，
令f′（x）=0，
即x²+（2a-4）x+a²=0，
（i）當(dāng)a＞1時(shí)，
對(duì)所有x＞0，有x²+（2a-4）+a²＞0．
即f′（x）＞0，
此時(shí)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)a=1時(shí)，
對(duì)x≠1，有x²+（2a-4）x+a²＞0，
即f′（x）＞0，
此時(shí)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，且在（1，+∞）內(nèi)也單調(diào)遞增，
又知函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，
因此，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

（iii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
令f′（x）＞0，
即x²+（2a-4）x+a²＞0，
解得x＜2-a-2或x＞2-a+2，
因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間，內(nèi)也單調(diào)遞增．
令f′（x）＜0，
即x²+（2a-4）x+a²＜0，
解得，
因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運(yùn)算能力．