Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，當(dāng)n≥2時(shí)，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=3+2log₄S_n，pn=

b1•b3•b5•…•b2n-1

b2•b4•b6•…•b2n

，求證：p1+p2+p3+…+pn＜

3

2

(

4n+3

-

3

)．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n．進(jìn)而得到a_n．
（2）利用S_n，即可得到b_n=3+2log₄S_n=2n+1，令A=

3×7×11×…×(4n-1)

5×9×13×…×(4n+1)

=

3

5

•

7

9

•

11

13

•…•

4n-1

4n+1

.B=

5

7

•

9

11

•

13

15

•…•

4n+1

4n+3

，
則A＜B，A•B＞A²，可得A＜

3

4n+3

=

2 3

4n+3 + 4n-1

=

3

2

(

4n+3

-

4n-1

)，即Pn＜

3

2

(

4n+3

-

4n-1

)，進(jìn)而得到p₁+p₂+…+p_n．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，

1

Sn

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

，
∴（S_n-S_n-1）（S_n+1-S_n）=S_n（S_n+1-2S_n-S_n-1），
∴Sn2=Sn-1Sn+1，
又S₁=a₁=1，S₂=a₁+a₂=4，
∴數(shù)列{S_n}是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．
∴Sn=4n-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3×4n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
∴an=

1(n=1) 3×4n-2(n≥2)

．
（2）∵Sn=4n-1，∴b_n=3+2log₄S_n=2n+1，
令A=

3×7×11×…×(4n-1)

5×9×13×…×(4n+1)

=

3

5

•

7

9

•

11

13

•…•

4n-1

4n+1

．
B=

5

7

•

9

11

•

13

15

•…•

4n+1

4n+3

，
則A＜B；
A•B=

3

5

•

5

7

•

7

9

•

9

11

•

11

13

•

13

15

•…•

4n-1

4n+1

•

4n+1

4n+3

=

3

4n+3

＞A2，
∴A＜

3

4n+3

=

2 3

4n+3 + 4n-1

=

3

2

(

4n+3

-

4n-1

)，
∴Pn＜

3

2

(

4n+3

-

4n-1

)，
∴p1+p2+p3+…+pn＜

3

2

(

7

-

3

)+

3

2

(

11

-

7

)+…+

3

2

(

4n+3

-

4n-1

)=

3

2

(

4n+3

-

3

)．
∴p1+p2+p3+…+pn＜

3

2

(

4n+3

-

3

)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握“利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求a_n或S_n”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、恰當(dāng)構(gòu)造式子進(jìn)行放縮、“前后相消”等是解題的關(guān)鍵．