Question

【題目】已知函數(shù)，其中t∈R.

(1)當(dāng)t＝1時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)當(dāng)t≠0時，求的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】(1) y＝－6x.

(2)見解析.

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，得到切線斜率，然后可得切線方程；

（2）求出導(dǎo)函數(shù)，由得或，按和的大小分類討論后可得的正負(fù)及單調(diào)區(qū)間．

詳解： (1)當(dāng)t＝1時，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6.

所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝－6x.

(2) f′(x)＝12x2＋6tx－6t2. 令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝.

因為t≠0，所以分兩種情況討論：

①若t<0，則<－t.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x			(－t，＋∞)
f′(x)	＋	－	＋
f(x)	↗	↘	↗

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，(－t，＋∞)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

②若t>0，則－t<.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－t)
f′(x)	＋	－	＋
f(x)	↗	↘	↗

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－t)，；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.