Question

設函數(shù)f（x）=-x³+ax²+a²x+1（x∈R），其中a∈R．
（I）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（III）當a=2時，是否存在函數(shù)y=f（x）圖象上兩點以及函數(shù)y=f′（x）圖象上兩點，使得以這四點為頂點的四邊形ABCD同時滿足如下三個條件：①四邊形ABCD是平行四邊形：②AB⊥x軸；③|AB|=4．若存在，指出四邊形ABCD的個數(shù)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=-x³+x²+x+1，得f（2）=-1，且f′（x）=-3x²+2x+1，f′（2）=-7．由此能求出曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程．
（Ⅱ）f（x）=-x³+ax²+a²x+1，f′（x）=-3x²+2ax+a²=-（3x+a）（x-a），令f（x）=0，解得．由于a＞0，故，列表討論，能夠求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（Ⅲ）若存在滿足題意的四邊形ABCD，則方程|f（x）-f′（x）|=4至少有兩個相異實根，且每個實根對應一條垂直于x軸且與f （x）、f′（x）圖象均相交的線段．這些線段長度均相等．由此進行分類討論，能求出滿足題意的平行四邊形ABCD有6個．
解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=-x³+x²+x+1，得f（2）=-1，
且f′（x）=-3x²+2x+1，f′（2）=-7．
所以，曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是y+1=-7（x-2），
整理得7x+y-13=0．…（3分）
（Ⅱ）f（x）=-x³+ax²+a²x+1，
f′（x）=-3x²+2ax+a²=-（3x+a）（x-a）
令f（x）=0，解得．
由于a＞0，故…（4分）
當x變化時，f′（x），f（x）的變化如下表：

因此，函數(shù)處取得極小值；
函數(shù)f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=1+a³．…（8分）
（Ⅲ）若存在滿足題意的四邊形ABCD，
則方程|f（x）-f′（x）|=4至少有兩個相異實根，
且每個實根對應一條垂直于x軸且與f （x）、f′（x）圖象均相交的線段．
這些線段長度均相等．f（x）=-x³+2x²+4x+1，
f′（x）=-3x²+4x+4
=-（3x+2）（x-2）|f（x）-f′（x）|
=|-x³+2x²+4x+1-（-3x²+4x+4）|
=|x³-5x²+3|=4…1O分
①當x³-5x²+3=4時．x³-5x-1=0，
令g（x）=x³-5x²-1，g′（x）=3x²-10x
令g′（x）=0，得x=0或，
當x變化時，g′（x），g（x）的變化如下表：
由表格知，g（0）為g（x）的極大值，為g（x）的極大值，
而，
故g（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，g（x）有且只有一個零點．  …（11分）
②當x³-5x²+3=-4時，x³-5x²+7=0，
令g（x）=x³-5x²+7，g′（x）=3x²-10x，
由①知g（0）為g（x）的極大值，為g（x）的極大值而，
而，
故g（x）的圖象與x軸有三個交點，g（x）有三個零點，…（12分）
由①②知，方程|x³-5x²+3|=4有四個不同的實根，
從小到大依次記為x₁、x₂、x₃、x₄，這四個根對應
的四條線段中的每兩條對應一個平行四邊形ABCD，
共有（x₁、x₂），（x₁、x₃）₂、x₃），（x₂、x₄），（x₃、x₄）6個，
所以滿足題意的平行四邊形ABCD有6個．…（14分）
點評：本題考查切線方程的求法，考查函數(shù)的最大值和最小值的應用，考查滿足條件的四邊形的個數(shù)的求法．具有一定的探索性，對數(shù)學思維的要求較高．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．