Question

設坐標原點為O，拋物線y²=2x與過焦點的直線交于A，B兩點，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：法一：根據拋物線的標準方程，求出焦點F（ ，0 ），當AB的斜率不存在時，可得A（ ，1），B（ ，-1），求得  的值，結合填空題的特點，得出結論．
法二：由拋物線y²=2x與過其焦點（，0）的直線方程聯立，消去y整理成關于x的一元二次方程，設出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點坐標，=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達定理可以求得答案．
解答：解：法一：拋物線y²=2x的焦點F（ ，0 ），
當AB的斜率不存在時，可得A（ ，1），B（ ，-1），
∴=（ ，1）•（ ，-1）=-1=-，
法二：由題意知，拋物線y²=2x的焦點坐標為（，0），∴直線AB的方程為y=k（x-），
由 得k²x²-（k²+2）x+k²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 ，y₁•y₂=k（x₁-）•k（x₂-）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+]
∴=x₁•x₂+y₁•y₂=，
故答案為：-．
點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，兩個向量的數量積公式，通過給變量取特殊值，檢驗所給的選項，是一種簡單有效的方法．