已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+4，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1}，求f（x）；
（2）若1∈A，且1≤a≤2，設(shè)f（x）在區(qū)間[
12
，2]上的最大值、最小值分別為M、m，記g（a）=M-m，求g（a）的最小值．
分析：（1）可得ax2+（b-1）x+4=0有兩等根為1，故
a+(b-1)+4=0
△=(b-1)2-16a=0
，解之代入可得；
（2）由題意可得b=-3-a代入解析式配方可得∴f（x）=a(x-
a+3
2a
)2-
a
4
-
9
4a
+
5
2
，結(jié)合范圍可得M，m，可得g（a），由函數(shù)的單調(diào)性可得答案．
解答：解：（1）∵A={1}，∴ax2+（b-1）x+4=0有兩等根為1．…（2分）
∴
a+(b-1)+4=0
△=(b-1)2-16a=0
，解得
a=4
b=-7
，
∴f（x）=4x2-7x+4．…（4分）
（2）∵1∈A，∴a+（b-1）+4=0，∴b=-3-a．…（5分）
∴f（x）=ax2-（a+3）x+4=a(x-
a+3
2a
)2-
a
4
-
9
4a
+
5
2
．
∵1≤a≤2，∴對(duì)稱軸為x=
a+3
2a
∈[
5
4
，2]．
∵x∈[
1
2
，2]，∴M=f(
1
2
)=-
a
4
+
5
2
，m=-
a
4
-
9
4a
+
5
2
．…（8分）
∴g(a)=M-m=
9
4a
，由g（a）在[1，2]單調(diào)遞減
可得當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)取最小值g(a)min=g(2)=
9
8
．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值，涉及二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，以及分式函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b-a．問(wèn)：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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