Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx在x=

2

3

與x=1處都取得極值，則f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為

0

．

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意列關(guān)于a，b的方程組求出a，b的值，代入導(dǎo)函數(shù)由導(dǎo)函數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]的端點處取得最小值，求出f（0）和f（1）比較大小即可．

解答：解：由f（x）=x³+ax²+bx，得f′（x）=3x²+2ax+b，
因為f（x）在x=

2

3

與x=1處都取得極值，
則

f′( 2 3 )=3×( 2 3 )2+2× 2 3 a+b=0 f′(1)=3×12+2a+b=0

，解得a=-

5

2

，b=2．
所以f′（x）=3x²-5x+2=（x-1）（3x-2）．
當(dāng)x∈[0，

2

3

）時，f′（x）＞0，原函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（

2

3

，1]時，f′（x）＜0，原函數(shù)為減函數(shù)，
而f（0）=0，f（1）=1+a+b=1-

5

2

+2=

1

2

．
所以f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為0．
故答案為0．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，是中檔題．