Question

設(shè)關(guān)于x的函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1-b（b∈R），
（1）若函數(shù)有零點，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當函數(shù)有零點時，討論零點的個數(shù)，并求出函數(shù)的零點．

Answer 1

分析：（1）原函數(shù)零點即方程）=4^x-2^x+1-b=0 的根．化簡可得 b=4^x-2^x+1=（2^x-1）²-1≥-1，由此可得b的范圍．
（2）分①當b=-1 時，②當 0＞b＞-1 時，③當b≥0時，④當b＜-1時四種情況，分別由條件求得2^x 的值，求得x的值，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）原函數(shù)零點即方程）=4^x-2^x+1-b=0 的根．
化簡方程為b=4^x-2^x+1=2^2x-2•2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
故當b的范圍為[-1，+∞）時函數(shù)存在零點．
（2）①當b=-1 時，2^x=1，∴方程有唯一解x=0．
②當 0＞b＞-1 時，∵（2^x-1）²=1+b＞0，可得 2^x=1+

1+b

，或2^x=1-

1+b

，
解得 x=log2(1+

1+b

)，或x=log2(1-

1+b

)，故此時方程有2個解．…（9分）
③當b≥0時，∵（2^x-1）²=1+b＞1，可得 2^x=1+

1+b

，或2^x=1-

1+b

（舍去），
解得 x=log2(1+

1+b

)，故此時方程有唯一解．
④當b＜-1時，∵（2^x-1）²=1+b＜0，2^x 無解，原方程無解．
綜上可得，1）當-1＜b＜0時原方程有兩解：x=log2(1+

1+b

)，或x=log2(1-

1+b

)；
2）當 b≥0 時，方程有唯一解 x=log2(1+

1+b

)，當b=-1 時，原方程有唯一解 x=0；
3）當b＜-1 時，原方程無解．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．