Question

已知雙曲線的離心率為2，若拋物線的焦點到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，若A、B是C₂上兩點且OA⊥OB，則直線AB與y軸的交點的縱坐標(biāo)為（ ）
A．
B．16
C．8
D．

Answer 1

【答案】分析：拋物線焦點為F（0，），由e==2，拋物線焦點至雙曲線一漸近線距離d==2，推導(dǎo)出拋物線方程為：x²=±16y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得到x₁x₂=-256，y₁y₂=256．設(shè)AB方程為：y=kx+m，根據(jù)韋達(dá)定理，x₁x₂=-16m，從而得到m=16，由此能求出直線AB與y軸的交點的縱坐標(biāo)．
解答：解：拋物線焦點為F（0，），
e==2，
∴c=2a，
b==，
雙曲線一漸近線方程為：y==，
=0，
∵拋物線焦點至雙曲線一漸近線距離d==2，
∴p=±8，
∴拋物線方程為：x²=±16y，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴=（x₁，y₁），=（x，y₂），
∵，∴•=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵=16y₁，=16y₂，
∴x₁x₂+=0，
∴x₁x₂=-256，①
y₁y₂=256，②
設(shè)AB方程為：y=kx+m，
x²=±16（kx+m），
x²±16kx-16m=0，
根據(jù)韋達(dá)定理，x₁x₂=-16m，
由①式得：-256=-16m，
∴m=16，
由直線方程x=kx+m可知，m是直線在y軸的截距，即是交點的縱坐標(biāo)，
∴直線AB與y軸的交點的縱坐標(biāo)為16，
故選B．
點評：本題考查直線與y軸交點的縱坐標(biāo)的求法，具體涉及到雙曲線、拋物線、韋達(dá)定理、點到直線的距離公式等基本知識點，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．