Question

如圖，A，B是單位圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且A，B分別在第一，二象限．C是圓與x軸的交點(diǎn)，△AOB為正三角形．若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）．記∠COA=α，求|BC|²的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)線

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：A的坐標(biāo)為（coaα，sinα），根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，sinα和cosα的值，cos∠COB=cos（α+60°），利用兩角和的余弦公式展開運(yùn)算，利用余弦定理求|BC|²的取值范圍．

解答： 解：∵A的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，y=sinα，x=cosα，
即A（coaα，sinα），
∵△AOB為正三角形，∴∠AOB=60°．
∴cos∠COB=cos（α+60°）=cosαcos60°-sinαsin60°=

1

2

cosα-

3

2

sinα，
∴|BC|² =|OC|²+|OB|²-2|OC|•|OB|cos∠COB=1+1-2×（

1

2

cosα-

3

2

sinα）=2-cosα+

3

sinα=2+2sin（α-30°），
∵A，B分別在第一，二象限．
∴

0°＜α＜90° 90°＜α+60°＜180°

即30°＜α＜90°，
∴0°＜α-30°＜60°，
∴0＜sin（α-30°）＜

3

2

，
即0＜2sin（α-30°）＜

3

，
∴2＜2+2sin（α-30°）＜2+

3

，
即|BC|²的取值范圍是（2，2+

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的余弦公式的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．圓．綜合性較強(qiáng)，要求熟練掌握兩角和差的公式以及輔助角公式的應(yīng)用．