已知拋物線y2=2px(p＞0)的一條焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F分成m、n兩部分，求證：為定值，本題若推廣到橢圓、雙曲線，你能得到什么結(jié)論？

解析：（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，m=n=p，

∴=.

（2）當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)AB:y=k(x-),

A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,

∴m=+x1,n=+x2.

將AB方程代入拋物線方程，得

k2x2-(k2p+2p)x+=0,

∴

∴=

=.

本題若推廣到橢圓，則有=（e是橢圓的離心率）；若推廣到雙曲線，則要求弦AB與雙曲線交于同一支，此時(shí)，同樣有=(e為雙曲線的離心率).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．
（1）求拋物線上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)N（2p，0）的最近距離；
（2）過點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M不在x軸上時(shí)，證明：
kMA+kMBkMF
是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點(diǎn)M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．求證：直線AB經(jīng)過點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

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