Question

6．若關于x的方程9^x+（4+a）3^x+4=0有解，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-8]
• B． （-∞，-8]∪[0，+∞）
• C． （-∞，-4）
• D． [-8，4）

Answer 1

分析 方法一：令3^x=t＞0由條件可得a=$\frac{{t}^{2}+4t+4}{-t}$=-4-（t+$\frac{4}{t}$），利用基本不等式和不等式的性質(zhì)求得實數(shù)a的取值范圍，
方法二，由題意可得方程 t²+（4+a）•t+4=0 有正數(shù)解，根據(jù)判別式非負可得①式，再由兩根之積等于4＞0，可得 $\frac{4+a}{2}$＞0，得到②式，由①和②求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：方法一：令3^x=t＞0，則關于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0 即 t²+（4+a）t+4=0 有正實數(shù)解．
故 a=$\frac{{t}^{2}+4t+4}{-t}$=-4-（t+$\frac{4}{t}$），
由基本不等式可得 t+$\frac{4}{t}$≥4，當且僅當t=$\frac{4}{t}$時，等號成立，故-（t+$\frac{4}{t}$）≤-4，故-4-（t+$\frac{4}{t}$）≤-8，
即a≤-8，
方法二：△=（4+a）²-16≥0，∴a≤-8 或a≥0 ①．
再由兩根之積等于4＞0，可得 $\frac{4+a}{2}$＞0，∴a＜-4 ②．
結合①②可得  a≤-8
故選：A

點評 本題考查方程有解問題、基本不等式求最值問題，同時考查轉化思想和換元法，屬于中檔題．