Question

數(shù)列{a_n}滿足：對任意的正整數(shù)m，n；s，t，若m+n=s+t，則

(1+am)(1+an)

am+an

=

(1+as)(1+at)

as+at

，且a1=3，a2=-

1

3

．
（1）求證：

(1-am)(1-an)

am+an

=

(1-as)(1-at)

as+at

；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）記c_n=a_2n-a_2n+1（n∈N*），求證：c1+c2+…+cn＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）由于

(1-am)(1-an)

am+an

=

(1+am)(1+an)

am+an

-2，所以條件可化為

(1-am)(1-an)

am+an

=

(1-as)(1-at)

as+at

．故可得證．
（2）將（1）式結(jié)論與條件相除得

1-am

1+am

1-an

1+an

=

1-as

1+as

1-at

1+at

，令bn=

1-an

1+an

，則：b_mb_n=b_sb_t由于1+n=2+（n-1），從而有b₁b_n=b₂b_n-1，可證數(shù)列為等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式；
（3）先證明cn＜

20

16n

，利用等比數(shù)列的求和公式求和，再進行放縮即可．

解答：證明：（1）由

(1+am)(1+an)

am+an

=

(1+as)(1+at)

as+at

①，
得

(1+am)(1+an)

am+an

-2=

(1+as)(1+at)

as+at

-2，
即

(1-am)(1-an)

am+an

=

(1-as)(1-at)

as+at

②…（4分）
（2）由②÷①得：

1-am

1+am

1-an

1+an

=

1-as

1+as

1-at

1+at

，
令bn=

1-an

1+an

，則：b_mb_n=b_sb_t由于1+n=2+（n-1），所以：b₁b_n=b₂b_n-1，所以：bn=

b2

b1

bn-1，即：b_n=-4b_n-1（n≥2），所以：b_n=b₁（-4）^n-1=-

1

2

(-4)n-1，所以an=

2+(-4)n-1

2-(-4)n-1

（n∈N*）…（8分）
（3）c_n=a_2n-a_2n+1=

20•16n

(16n+8)(16n-2)

=

20•16n

(16n)2+6•16n-16

＜

20

16n

所以c1+c2+…+cn＜

n

k=1

20

16k

=

20(1- 1 16n )

15

＜

20

15

=

4

3

…（12分）

點評：本題的關(guān)鍵是挖掘結(jié)論與條件之間的聯(lián)系，有一定的技巧性，綜合性強．