Question

已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）記為的從小到大的第個零點，證明：對一切，有.

Answer 1

(1) 單調(diào)遞減區(qū)間為,
單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)詳見解析

試題分析:(1)對函數(shù)求導得到導函數(shù),求大于0和小于0的解集得到單調(diào)減區(qū)間和單調(diào)增區(qū)間,但是必須注意正余弦的周期性和原函數(shù)的定義域.
(2)利用(1)問的結(jié)果可知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的,即在區(qū)間上至多一個零點,根據(jù)正余弦的函數(shù)值可得,再根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)性和函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值異號可得函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點,即,則依次討論利用放縮法即可證明.
數(shù)求導可得,令可得
,當時,.此時;
當時,,此時,
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,
單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)由(1)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,又,所以,
當時,因為,且函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的,所以在區(qū)間內(nèi)至少存在一個零點,又在區(qū)間上是單調(diào)的,故,因此,
當時,;
當時,;
當時,


,
綜上所述,對一切的,.