Question

16．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足f（x+2）=-f（x），
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x，求使f（x）=-$\frac{1}{2}$在[0，2014]上的所有x的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由f（x+2）=-f（x）可推知f（x+4）=f（x）得證．
（2）依題意求出f（x）在[-1，3）上的解析式，進(jìn)而求出f（x）=-$\frac{1}{2}$時(shí)x的值．再根據(jù)函數(shù)的周期性求出在[0，2014]上的所有x的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）證明：∵f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）
∴f（x）是以4為周期的函數(shù)．
（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x，
設(shè)-1≤x≤0，則0≤-x≤1，
∴f（-x）=（-x）=-x．
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-$\frac{1}{2}$x，即f（x）=$\frac{1}{2}$x．
故f（x）=$\frac{1}{2}$x（-1≤x≤1）
又設(shè)1＜x＜3，則-1＜x-2＜1，
∴f（x-2）=$\frac{1}{2}$（x-2），
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），
∴-f（x）=$\frac{1}{2}$（x-2），∴f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-2）（1＜x＜3）．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x，-1≤x≤1}\\{-\frac{1}{2}（x-2），1＜x＜3}\end{array}\right.$，
由f（x）=-$\frac{1}{2}$，解得x=-1．
∵f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．故f（x）=-$\frac{1}{2}$的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2014，則$\frac{1}{4}$≤n≤503，
又∵n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴在[0，2014]上共有503個(gè)x使f（x）=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的周期性．在解題的時(shí)候，要注意函數(shù)在不同區(qū)間上不同的解析式，這是容易出錯(cuò)的地方．