Question

 

右圖是一個(gè)直三棱柱（以為底面）被

B

一平面所截得到的幾何體，截面為．

已知,   ，

   .

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：法一：

（Ⅰ）證明：作交于，連．_{……（1分）}

則．

因?yàn)?sub>是的中點(diǎn)，

所以．

則是平行四邊形，因此有．_{……………………（3分）}

平面且平面，

則面．                        _{……………………（5分）}

（Ⅱ）如圖，過作截面面，分別交于．

作于，連．                   _{……………………（7分）}

因?yàn)?sub>面，所以，則平面．

又因?yàn)?sub>．

所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．

                                                _{……………………（9分）}

因?yàn)?sub>，所以，故，_{………（11分）}

即：所求二面角的大小為．                     _{……………………（12分）}

法二：

（Ⅰ）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，   _{………………（1分）}

則      

因?yàn)?sub>是的中點(diǎn)，所以，

．

易知，是平面的一個(gè)法向量．   _{……（3分）}

因?yàn)?sub>平面，

所以平面．                       _{………………（5分）}

（Ⅱ），

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則得：

取．                   _{……………………（7分）}

顯然，為平面的一個(gè)法向量．  _{……………………（9分）}

則，                   _{……………………（11分）}

結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角．

所以二面角的大小是．         _{……………………（12分）}