Question

8．設(shè)（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…$+{（1+x）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+$…$+{a_{10}}{x^{10}}$，則a₂的值是165．

Answer 1

分析 （1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…$+{（1+x）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+$…$+{a_{10}}{x^{10}}$，對(duì)兩邊兩次求導(dǎo)，再令x=0即可得出．

解答 解：（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…$+{（1+x）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+$…$+{a_{10}}{x^{10}}$，
兩邊求導(dǎo)可得：1+2（1+x）+3（1+x）²+…+10（1+x）⁹=a₁+2a₂x+…+10${a}_{10}{x}^{9}$，
兩邊求導(dǎo)可得：2+3×2（1+x）+…+10×9×（1+x）⁸=2a₂+3×2a₃x…+10×$9{a}_{10}{x}^{8}$，
令x=0，可得：2+3×2+4×3+…+10×9=2a₂，
解得a₂=165．
故答案為：165．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、二項(xiàng)式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．