（理）已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意非零的實數(shù)a，b∈R，滿足f(a•b)=
f(b)
a
+
f(a)
b
，f(2)=
1
2
，an=
f(2n)
n
(n∈N*)，bn=2nf(2n)(n∈N*)，考查下列結(jié)論：
（1）f（1）=f（-1）；     （2）f（x）為偶函數(shù)；
（3）數(shù)列{an}為等比數(shù)列； （4）數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．
其中正確的是
 
．
分析：給a、b賦值，使它們都等于1，再使它們分別等于-1，1，得到結(jié)論（1）正確，把第三個條件兩邊同乘n化為整式形式，用第一個式子逐漸展開，得到等比數(shù)列，通過第二步整理，可得第三個結(jié)論正確．
解答：解：∵取a=b=1，可得f（1）=0，
取a=-1，b=1，可得f（-1）=0，
∴f（-1）=f（1），
即（1）正確，
∵f(a•b)=
f(b)
a
+
f(a)
b
，
∴f（2n）=f（2•2n-1）
=
f(2n-1)
2
+
f(2)
2n-1

=
f(2n-1)
2
+
1
2n

=…
=
n
2n
，
∴an=
1
2n
，bn=n
∴（1），（3），（4）都正確，由已知不能判斷函數(shù)的奇偶性，故（2）錯誤．
故答案為：（1），（3），（4）．
點評：這種題做起來易出錯，使學(xué)生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實際生活中的有關(guān)問題
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理）已知f(x)=x+
m
x
(m∈R)，
（1）若m≤2，求函數(shù)g(x)=f(x)-lnx在區(qū)間[
1
2
，2]上的最小值；
（2）若函數(shù)y=log
1
2
[f(x)+2]在區(qū)間[1，+∞]上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理）設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)α∈（0，1）以及x1、x2∈D恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）成立，則稱f（x）為定義在D上的下凸函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)g（x）=2x（x∈R），k(x)=
1x
 (x＜0)是否為各自定義域上的下凸函數(shù)，并說明理由；
（2）若h（x）=px2（x∈R）是下凸函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（3）已知f（x）是R上的下凸函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)f（0）=0，f（m）=2m，記Sf=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（理）設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)α∈（0，1）以及x1、x2∈D恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）成立，則稱f（x）為定義在D上的下凸函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)g（x）=2x（x∈R），k(x)=
1
x
 (x＜0)是否為各自定義域上的下凸函數(shù)，并說明理由；
（2）若h（x）=px2（x∈R）是下凸函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（3）已知f（x）是R上的下凸函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)f（0）=0，f（m）=2m，記Sf=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)高三（上）12月月考數(shù)學(xué)試卷（文理合卷）（解析版） 題型：填空題

（理）已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意非零的實數(shù)a，b∈R，滿足，，考查下列結(jié)論：
（1）f（1）=f（-1）；     （2）f（x）為偶函數(shù)；
（3）數(shù)列{an}為等比數(shù)列； （4）數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．
其中正確的是    ．

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