Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若（e^t+2）x²+e^tx+e^t-2≥0對滿足|x|≤1的任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)t的取值范圍（這里e是自然對數(shù)的底數(shù)）；
（Ⅲ）求證：對任意正數(shù)a、b、λ、μ，恒有．

Answer 1

解：（Ⅰ）
∴f（x）的增區(qū)間為，f（x）減區(qū)間為和．
極大值為，極小值為．…4分
（Ⅱ）原不等式可化為由（Ⅰ）知，|x|≤1時，f（x）的最大值為．
∴的最大值為，由恒成立的意義知道，從而…8分
（Ⅲ）設(shè)
則．
∴當x＞0時，g'（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
又當a、b、λ、μ是正實數(shù)時，
∴．
由g（x）的單調(diào)性有：，
即．…12分
分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單獨區(qū)間，進而可求函數(shù)的極大值，極小值．
（Ⅱ）原不等式可化為由（Ⅰ）知，|x|≤1時，f（x）的最大值為．則可得的最大值為，由恒成立的意義知道，從而可求t．
（Ⅲ）設(shè)，對g（x）求導(dǎo)可判斷g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，而作差可證明．由g（x）的單調(diào)性可證．
點評：本題主要考查了函數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識判斷函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)的極值及最值及綜合應(yīng)用函數(shù)知識求解問題的綜合能力