Question

給出下列四個(gè)命題，正確的命題是

②④

；
①定義在R上的函數(shù)f（x），函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②若f（x）=9^x-（k+1）3^x+1＞0恒成立，則k的范圍是（-∞，1）；
③已知f（x）=1+log₂x（1≤x≤16），則函數(shù)y=f²（x）+f（x²）的值域是[2，34]；
④[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，當(dāng)x是整數(shù)時(shí)[x]就是x，這個(gè)函數(shù)y=[x]叫做“取整函數(shù)”．那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂128]=649．

Answer 1

分析：由函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱的公式，可得①不正確；
用換元法結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法，可得f（x）=9^x-（k+1）3^x+1＞0恒成立，則k的范圍是（-∞，1），故②正確；
對(duì)于③，首先y=f²（x）+f（x²）的定義域?yàn)椋簒∈[1，4]，然后用二次函數(shù)求最閉區(qū)間上最值的方法可得函數(shù)y=f²（x）+f（x²）的值域是[2，14]，得到③不正確；
根據(jù)取整函數(shù)的定義，可得[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂128]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+7=649，故④正確．

解答：解：對(duì)于①，函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，而不是關(guān)于y軸對(duì)稱，故①不正確；
對(duì)于②，令t=3^x，f（x）=g（t）=t²-（k+1）t+1在t＞0時(shí)函數(shù)值恒為正數(shù)
（1）當(dāng)k≤-1時(shí)，函數(shù)最小值為g（0）=1＞0，符合題意；
（2）當(dāng)k＞-1時(shí)，函數(shù)最小值為g（

k+1

2

）=-

(k+1)2

4

+1＞0，解之得-1＜k＜1
綜上所述，可得若f（x）=9^x-（k+1）3^x+1＞0恒成立，則k的范圍是（-∞，1），故②正確；
對(duì)于③，y=f²（x）+f（x²）的定義域滿足：1≤x≤16且1≤x²≤16，可得x∈[1，4]
∴y=f²（x）+f（x²）=log₂²x+4log₂x+2，其中l(wèi)og₂x∈[0，2]
可得當(dāng)log₂x=0時(shí)，y的最小值為2，當(dāng)log₂x=2時(shí)，y的最大值為14，
因此函數(shù)y=f²（x）+f（x²）的值域是[2，14]，故③不正確；
對(duì)于④，根據(jù)取整函數(shù)的定義，可得[log₂1]=0，[log₂2]=[log₂3]=1，[log₂4]=[log₂5]=[log₂6]=[log₂7]=2，
[log₂8]=[log₂9]=[log₂10]=[log₂11]=[log₂12]=[log₂13]=[log₂14]=[log₂15]=3，…，依此類推，可得
[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂128]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+7=649，故④正確．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性、二次函數(shù)求閉區(qū)間上的最值和取整函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．