Question

11．如圖，在△ABC中，∠CAB=45°，∠CBA=30°，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC．

（1）證明：A，E，F(xiàn)，B四點(diǎn)共圓；
（2）求$\frac{EF}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）證明：∠A+∠EFB=180°，即可證明A，E，F(xiàn)，B四點(diǎn)共圓；
（2）由△CEF～△ACB得$\frac{EF}{AB}$的值．

解答 （1）證明：∵CD⊥AB，DE⊥AC，∴∠A=∠CDE，
又∵DF⊥BC，∴∠CED=∠CFD=90°，則C、E、D、F四點(diǎn)共圓，
所以∠CDE=∠CFE，∴∠A=∠CFE，
故∠A+∠EFB=180°，A、E、F、B四點(diǎn)共圓；
（2）解：由△CEF～△ACB得，$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{BC}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}CD}}{2CD}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓的證明，考查三角形相似性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．