Question

給定拋物線C：y²=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）設(shè)，當(dāng)三角形OAB的面積S∈[2，]時(shí)，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立消去x，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）根據(jù)韋達(dá)定理可求得y₁y₂進(jìn)而求得x₁x₂的值進(jìn)而可得答案．
（2）由可知所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），與拋物線方程聯(lián)立整理得x₁=λ²x₂，進(jìn)而求得y₂和x₂，代入三角形面積公式，進(jìn)而根據(jù)面積的范圍求得λ的范圍．
解答：解：（1）根據(jù)拋物線方程y²=4x可得F（1，0）
設(shè)直線l的方程為x=my+1，將其與C的方程聯(lián)立，消去x得y²-4my-4=0
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
則y₁y₂=-4
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212047356939426/SYS201310232120473569394018_DA/1.png">
故
（2）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212047356939426/SYS201310232120473569394018_DA/3.png">，
所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂）
即
又y₁²=4x₁③y₂²=4x₂④
由②、③、④消去y₁，y₂后得，x₁=λ²x₂
將其代入①，注意到λ＞0，解得
從而可得
故三角形OAB的面積
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212047356939426/SYS201310232120473569394018_DA/8.png">恒成立，所以只要解即可，
解得．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的應(yīng)用．題中涉及向量的計(jì)算，不等式問(wèn)題和解三角形等問(wèn)題，綜合性很強(qiáng)．