Question

某公司以每噸10萬元的價(jià)格銷售某種化工產(chǎn)品，每年可售出該產(chǎn)品1000噸，若將該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲x%，則每年的銷售數(shù)量將減少mx%，其中m為正常數(shù)．
（1）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲百分之幾，可使銷售的總金額最大？
（2）如果存在一次漲價(jià)，能使銷售總金額增加，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)，當(dāng)價(jià)格上漲x%時(shí)，銷售總金額：y=10（1+x%）•1000（1-mx%）=-mx2+100(1-m)x+10000(0＜x＜

100

m

)．由此能求出該噸產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲50%時(shí)，銷售總金額最大．
（2）由y=-mx2+100(1-m)x+10000，(0＜x＜

100

m

)，知如果存在一次漲價(jià)，能使銷售總金額增加，則存在0＜x＜

100

m

使y＞10×1000，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）由題設(shè)，當(dāng)價(jià)格上漲x%時(shí)，銷售總金額：
y=10（1+x%）•1000（1-mx%）=-mx2+100(1-m)x+10000(0＜x＜

100

m

)．
當(dāng)m=

1

2

時(shí)，y=

1

2

[-(x-50)2+22500]，
當(dāng)x=50時(shí)，y_max=11250．即該噸產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲50%時(shí)，銷售總金額最大．
（2）由（1）y=-mx2+100(1-m)x+10000，(0＜x＜

100

m

)；
如果存在一次漲價(jià)，能使銷售總金額增加，則存在0＜x＜

100

m

使y＞10×1000，
-mx²+100（1-m）x+10000＞10000，
∴-mx+100（1-m）＞0，注意到m＞0，
∴x＜

100(1-m)

m

，
∵

100(1-m)

m

＜

100

m

，
∴

100(1-m)

m

＞0，解得0＜m＜1．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的具體應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．