Question

已知：△ABC和△相似，⊙O和⊙為△ABC和△的內(nèi)切圓，相似比為k．

求證：⊙O和⊙的直徑比為k，周長比為k，面積比為k²．

Answer 1

答案：
解析：

證明：連結(jié)O和切點D，和切點， 　　所以O(shè)D⊥AB，⊥． 　　連結(jié)OA、OB、、， 　　因為兩三角形相似， 　　所以∠BAC＝∠， 　　∠DAO＝∠BAC， 　　∠＝∠． 　　所以∠DAO＝∠． 　　同理∠DBO＝∠． 　　所以△AOB與△相似， 　　相似比為k． 　　因為OD、分別為△AOB和△上的高， 　　所以＝k，即＝k． 　　所以＝k． 　　因為⊙O的周長為2π·OD， 　　⊙的周長為2π， 　　所以⊙O的周長∶⊙的周長＝k． 　　⊙O的面積＝π(OD)2． 　　⊙的面積＝π()2． 　　所以⊙O的面積∶⊙的面積＝＝k2． 　　于是結(jié)論得證．