Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax，g（x）=lnx．
（Ⅰ）若f（x）≥g（x）對于定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）+g（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x1∈(0，

1

2

)，證明：h(x1)-h(x2)＞

3

4

-ln2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的定義域，將f（x）≥g（x）對于定義域內(nèi)的任意x恒成立，轉(zhuǎn)化為x²-ax≥lnx對x∈（0，+∞）恒成立，利用參變量分離法可得a≤x-

lnx

x

對x∈（0，+∞）恒成立，令φ（x）=x-

lnx

x

，即a≤φ（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)求出φ（x）的最小值，即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）求出h′（x），根據(jù)h（x）=f（x）+g（x）有兩個極值點x₁，x₂，可以確定x₁，x₂為h′（x）=0的兩個根，從而得到x₁x₂=

1

2

，可以確定x₂＞1，求解h（x₁）-h（x₂），構(gòu)造函數(shù)u（x）=x²-

1

4x2

-ln2x²，x≥1，利用導(dǎo)數(shù)研究u（x）的取值范圍，從而可以證得h(x1)-h(x2)＞

3

4

-ln2．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-ax，g（x）=lnx，
∴f（x）的定義域為R，g（x）的定義域為{x|x＞0}，
∴f（x）≥g（x）對于定義域內(nèi)的任意x恒成立，即為x²-ax≥lnx對x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤x-

lnx

x

對x∈（0，+∞）恒成立，
設(shè)φ（x）=x-

lnx

x

，則a≤φ（x）_min，
∴φ′（x）=

x2+lnx-1

x2

，
∵當(dāng)x∈（0，1）時，φ′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時，φ（x）_min=φ（1）=1，
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]；
（Ⅱ）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=x²-ax+lnx，
∴h′（x）=

2x2-ax+1

x

，（x＞0），
∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）有兩個極值點x₁，x₂，
∴x₁，x₂為h′（x）=0的兩個根，即2x²-ax+1=0的兩個根，
∴x₁x₂=

1

2

，
∵x1∈(0，

1

2

)，
∴x₂∈（1，+∞），且ax_i=2

x

2 i

+1（i=1，2），
∴h（x₁）-h（x₂）=（

x

2 1

-ax₁+lnx₁）-（

x

2 2

-ax₂+lnx₂）
=（-

x

2 1

-1+lnx₁）-（-

x

2 2

-1+lnx₂）
=

x

2 2

-

x

2 1

+ln

x1

x2

=

x

2 2

-

1

4 x 2 2

-ln2

x

2 2

，（x₂＞1），
設(shè)u（x）=x²-

1

4x2

-ln2x²，x≥1，
∴u′（x）=

(2x2-1)2

2x3

≥0，
∴u（x）＞u（1）=

3

4

-ln2，
∴h(x1)-h(x2)＞

3

4

-ln2．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，函數(shù)在某點取得極值的條件．求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點和極值．過程中要注意運用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，一般導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，然后求出跟對應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．屬于中檔題．