Question

已知橢圓過點(diǎn)P（-3，

7

2

），Q（2，

3

）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A（0，4），B是橢圓上的任一點(diǎn)，求|AB|的最大值及此時(shí)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓方程mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程后聯(lián)立方程組求解m，n的值，則橢圓的方程可求；
（2）化橢圓的普通方程為參數(shù)方程，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)由兩點(diǎn)間的距離公式寫出|AB|，利用配方法即可求出|AB|的最大值，且同時(shí)求出B的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）．
因?yàn)闄E圓過點(diǎn)P（-3，

7

2

），Q（2，

3

），
所以

9m+ 7 4 n=1 4m+3n=1

，解得

m= 1 16 n= 1 4

．
所以橢圓方程為

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）由橢圓方程為

x2

16

+

y2

4

=1，
可知A（0，4）在橢圓外部，
橢圓的參數(shù)方程

x=4cosθ y=2sinθ

，
因?yàn)锽為橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)B（4cosθ，2sinθ），
所以|AB|=

16cos2θ+(2sinθ-4)2

=

16cos2θ+4sin2θ-16sinθ+16

=

12cos2θ-16sinθ+20

=

-12sin2θ-16sinθ+32

=

-12(sinθ+ 2 3 )2+ 112 3

．
所以當(dāng)sinθ=-

2

3

時(shí)，|AB|的最大值為

4 21

3

．
此時(shí)cosθ=-

5

3

．
則B（-

4 5

3

，-

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的方程，考查了橢圓的參數(shù)方程，訓(xùn)練了兩點(diǎn)間的距離公式，訓(xùn)練了利用配方法求最值，是中檔題．