Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n、a_n、

1

2

成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若

a

2 n

=2-bn，設(shè)Cn=

bn

an

，求數(shù)列{C_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ） S_n、a_n、

1

2

成等差數(shù)列．即2an=Sn+

1

2

，an＞0，再利用1）根據(jù)Sn與an的固有關(guān)系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

 去解
 （Ⅱ）（Ⅱ）

a

2 n

=2-bn=22n-4，∴b_n=4-2n，Cn=

ba

aa

=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

，可用錯位相消法求和．

解答：解：（Ⅰ） 由題意知2an=Sn+

1

2

，an＞0
當(dāng)n=1時，2a1=a1+

1

2

∴a1=

1

2

；
當(dāng)n≥2時，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），整理得：

an

an-1

=2（n≥2）
∴數(shù)列{a_n}是

1

2

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.an=a1•2n-1=

1

2

×2n-1=2n-2
（Ⅱ）

a

2 n

=2-bn=22n-4，
∴b_n=4-2n
Cn=

ba

aa

=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

Tn=

8

2

+

0

22

+

-8

23

+…+

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

①

1

2

Tn=

8

22

+

0

23

+…+

24-8n

2n

+

16-8n

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=4-8(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

16-8n

2n+1

=4-8• 1 22 (1- 1 2n-1 ) 1- 1 2 - 16-8n 2n+1 =4-4(1- 1 2n-1 )- 16-8n 2n+1 = 4n 2n

∴Tn=

8n

2n

點(diǎn)評：本題考查Sn與an關(guān)系的具體應(yīng)用，指數(shù)的運(yùn)算，數(shù)列錯位相消法求和知識和方法．要注意對n的值進(jìn)行討論