Question

下列五個函數(shù)中：①y=2^x；②y=lo

g

x 2

；③y=

x

；④y=

1

x

；⑤y=cos2x，當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

 恒成立的函數(shù)是

②③

將正確的序號都填上）．

Answer 1

分析：因為f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立，表示連接兩點A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂））的線段的中點縱坐標(biāo)小于f（x）在曲線AB中點（

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

)）的縱坐標(biāo)，也就是說f（x）的圖象“上凸”．所以只需判斷哪個函數(shù)的圖象“上凸”即可．

解答：解：要使當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立，
可得對任意兩點A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂）），曲線f（x）在A，B兩點橫坐標(biāo)的中點的縱坐標(biāo)，大于A、B兩點的縱坐標(biāo)的一般，也就是說f（x）的圖象“上凸”可以畫出①②③④⑤的圖象進行判斷：
在0＜x₁＜x₂＜1上為上凸的圖象：

可以看見②③的圖象是上凸的，對于⑤可以進行研究：y=cos2x，周期T=π，要求在0＜x₁＜x₂＜1上是上凸的，

如上圖：在（

π

4

，1）上是下凹的，在（0，

π

4

）上是上凸的，故⑤錯誤；
綜上：②③是使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立的函數(shù)，
故答案為：②③；

點評：此題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查的知識點比較全面，利用數(shù)形結(jié)合的方法會比較簡單，是一道好題；