19．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別切三邊BC、CA、AB于D、E、F，X是△ABC內(nèi)的-點(diǎn)，△XBC的內(nèi)切圓也在點(diǎn)D處與C相切，并與CX，XB分別切于點(diǎn)Y、Z．證明：EFZY是圓內(nèi)接四邊形．

分析 根據(jù)已知條件，由切割線定理的逆定理結(jié)合梅涅勞斯定理及其逆定理能證明四點(diǎn)共圓，從而能證明EFZY是圓內(nèi)接四邊形．

解答 證明：若EF∥BC，則AB=AC，AD是EFZY的對(duì)稱軸，
因而四邊形EFAY是圓內(nèi)接四邊形；
若EF不平行BC，設(shè)EF，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，直線FEP截△ABC，
由梅涅勞斯定理，得：$\frac{AF}{FB}•\frac{BP}{PC}•\frac{CE}{EA}$=1，
又AF=AE，即$\frac{BP}{PC}•\frac{CE}{FB}=1$，
又因?yàn)锽Z=BD=BF，CY=CD=CE，所以$\frac{BP}{PC}•\frac{CY}{BZ}$=1，
又ZX=XY，即$\frac{XZ}{BZ}•\frac{BP}{PC}•\frac{CY}{YX}=1$，
由梅涅勞斯定理，得Z、Y、P三點(diǎn)共線，
于是PE•PF=PD2=PY•PZ，
由切割線定理的逆定理，得E、F、Z、Y四點(diǎn)共圓．
∴EFZY是圓內(nèi)接四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓內(nèi)接四邊形的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意切割線定理的逆定理、梅涅勞斯定理及其逆定理的合理運(yùn)用．

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