Question

定義在（0，+∞）上的三個函數(shù)f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h（x）=x-a，且g（x）在x=1處取得極值．
（1）求a的值及h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，恒有x＜；
（3）把h（x）對應(yīng)的曲線C₁向上平移6個單位后得到曲線C₂，求C₂與g（x）對應(yīng)曲線C₃的交點(diǎn)的個數(shù)，并說明道理．

Answer 1

解：（1）由題意：g（x）=x²-af（x）=x²-alnx
g'（1）=2-a=0，∴a=2
而h（x）=x-2，h'（x）=1-，
令h'（x）=1-＞0 得 x＞1，所以 h（x）在（1，+∞）上位增函數(shù)
令h'（x）=1-＜0 得 0＜x＜1，h（x）在（0，1）上為減函數(shù)．
（2）∵1＜x＜e²∴0＜lnx＜2，∴2-lnx＞0，
欲證：x＜．只需證：x[2-f（x）]＜2+f（x），即證：f（x）＞
記k（x）=f（x）-=lnx-
∴k'（x）=
∴當(dāng)x＞1時(shí)，k'（x）＞0∴k（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)
∴k（x）＞k（1）=0，∴k（x）＞0
即lnx-＞0，∴l(xiāng)nx＞
∴結(jié)論成立

（3）由（1）知：g（x）=x²-2lnx，h（x）=x-2
∴C₂對應(yīng)表達(dá)式為
∴問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x²-2lnx與交點(diǎn)的個數(shù)
即方程：的根的個數(shù)
即：
設(shè)，h₃（x）=-x²+x+6，

∴當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，h₂′（x）＜0，h₂（x）為減函數(shù)
當(dāng)x∈（4，+∞）時(shí)，h₂′（x）＞0，h₂（x）為增函數(shù)
而h₃（x）=-x²+x+6的圖象開口向下的拋物線
∴h₃（x）與h₂（x）的大致圖象如圖：
∴h₃（x）與h₂（x）的交點(diǎn)個數(shù)為2個，即C₂與C₃的交點(diǎn)個數(shù)為2個．
分析：（1）表示出函數(shù)g（x）后對其進(jìn)行求導(dǎo)，將x=1代入導(dǎo)數(shù)g'（x）即可得到答案．
（2）欲證：x＜．只需證：x[2-f（x）]＜2+f（x），即證：f（x）＞．
（3）表示出C₂的解析式，h₁（x），轉(zhuǎn)化為求h₁（x）與g（x）的交點(diǎn)個數(shù)即可．
點(diǎn)評：本題主要考查通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)的增減區(qū)間的問題．這里要熟記各種函數(shù)的求導(dǎo)法則．