Question

設(shè)(5x-

1

3 x

)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M-N=240，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

 

．

Answer 1

分析：通過給二項(xiàng)式中的x賦值1求出展開式的各項(xiàng)系數(shù)和；利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出二項(xiàng)式系數(shù)和，代入已知求出n；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，求出常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：令二項(xiàng)式中的x為1得到展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為M=4ⁿ，
二項(xiàng)式系數(shù)和為N=2ⁿ，
由M-N=240，得n=4，
∴(5x-

1

3 x

)n=(5x-

1

3 x

)4
其展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(-1)r54-r

C

r 4

x4-

4r

3

令4-

4r

3

=0得r=3代入通項(xiàng)
解得常數(shù)項(xiàng)為-20．
故答案為-20

點(diǎn)評：本題考查求二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和問題常用賦值法、考查二項(xiàng)式系數(shù)和公式、考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．