Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=，D為AA₁中點(diǎn)，BD與AB₁交于點(diǎn)O，CO丄側(cè)面ABB₁A_1.

(Ⅰ)證明：BC丄AB₁；
(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C₁-BD-C的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824013117648514.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，推出，
又，得到，所以，得到,得到          
（Ⅱ）二面角的余弦值為 .

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824013117648514.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，

為中點(diǎn)，，，,
所以在直角三角形中,,
在直角三角形中,,
所以=,
又，   ，
所以在直角三角形中，故，
即，               4分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824013117695777.png" style="vertical-align:middle;" />，,
所以
所以，,,
故           6分
（Ⅱ）解法一：
如圖，由（Ⅰ）可知，兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

在RtDABD中，可求得,,，
在RtDABB­₁中，可求得 ，
故,,,
所以 ,,
可得，               8分
設(shè)平面的法向量為 ，則 ，
即，
取，則 ，         10分
又，
故，
所以，二面角的余弦值為              12分
解法二：連接交于,連接，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824013117695777.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，又，
所以，故
所以為二面角的平面角            8分
，，  ，
,   ，
在RtDCOB­₁中，
 ，               10分
又    ，
故二面角的余弦值為 .            12分
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題。