Question

若不共線的三個向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的角相等，且|

a

|=1，|

b

|=2，|

c

|=4，則|

a

+

b

+

c

|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量的模

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：不共線的三個向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的角相等，可知：夾角為0或

2π

3

．分別利用數(shù)量積定義和性質(zhì)|

a

+

b

+

c

|2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

a

•

c

+2

b

•

c

即可得出．

解答： 解：不共線的三個向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的角相等，可知：夾角為0或

2π

3

．
當(dāng)夾角為0時，

a

•

b

=|

a

| |

b

|=2，同理

a

•

c

=4，

b

•

c

=8．
∴|

a

+

b

+

c

|2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

a

•

c

+2

b

•

c

=1+4+16+2×2+2×4+2×8=49，
∴|

a

+

b

+

c

|=7．
夾角為

2π

3

時，

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos

2π

3

=-1，同理

a

•

c

=-2，

b

•

c

=-4．
∴|

a

+

b

+

c

|2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

a

•

c

+2

b

•

c

=1+4+16+2×（-1）+2×（-2）+2×（-4）=7，
∴|

a

+

b

+

c

|=

7

．
故答案為：7或

7

．

點(diǎn)評：本題考查了向量的夾角、數(shù)量積的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．