Question

某會(huì)議室用5盞燈照明,每盞燈各使用燈泡一只,且型號(hào)相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān),該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為p₁,壽命為2年以上的概率為p₂.從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作,只更換已壞的燈泡,平時(shí)不換.

(1)在第一次燈泡更換工作中,求不需更換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率;

(2)在第二次燈泡更換工作中,對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說,求該盞燈需要更換燈泡的概率;

(3)當(dāng)p₁=0.8,p₂=0.3時(shí),求在第二次燈泡更換工作中,至少需要更換4只燈泡的概率(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字).

Answer 1

解:(1)在第一次更換燈泡工作中,不需更換燈泡的概率為p₁⁵,需要更換2只燈泡的概率為C²₅p₁³(1-p₁)².

    (2)對(duì)該盞燈來(lái)說,在第一、二次都更換了燈泡的概率為(1-p₁)²;在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p₁(1-p₂).故所求的概率為

    p=(1-p₁)²+p₁(1-p₂).

    (3)至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況.換5只的概率為p⁵〔其中p為(2)中所求,下同〕;換4只的概率為C¹₅p⁴(1-p).故至少換4只燈泡的概率為

    p₃=p⁵+C¹₅p⁴(1-p).

    又當(dāng)p₁=0.8,p₂=0.3時(shí),p=0.2²+0.8×0.7=0.6.

    ∴p₃=0.6⁵+5×0.6⁴×0.4=0.34,

    即滿2年至少需要換4只燈泡的概率為0.34.