若直線l:y=kx+
2
與雙曲線
x2
3
-y2=1恒有兩個不同的交點A和B,且
OA
OB
>2(其中O為原點),求k的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:聯(lián)立直線和雙曲線方程,轉(zhuǎn)化為一元二次方程,利用根與系數(shù)之間的關(guān)系即可求出k的取值范圍.
解答: 解:由將y=kx+
2
代入雙曲線
x2
3
-y2=1消去y得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0.
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得
1-3k2≠0
△=(-6
2
k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)>0

即k2
1
3
且k2<1.①
設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),則  xA+xB=
6
2
k
1-3k2
,xAxB=
-9
1-3k2

OA
OB
>2,得xAxB+yAyB>2,
即xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
2
)
(kxB+
2
)=(k2+1)xAxB+
2
k
(xA+xB)+2=)=(k2+1)•
-9
1-3k2
+
2
k
6
2
k
1-3k2
)+2=
3k2+7
3k2-1

于是
3k2+7
3k2-1
>2,即
-3k2+9
3k2-1
>0,
解此不等式得
1
3
<k2<3.②
由①②得
1
3
<k2<1.
故k的取值范圍為(-1,-
3
3
)∪(
3
3
,1).
點評:本題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系,利用直線和雙曲線聯(lián)立轉(zhuǎn)化為一元二次方程,利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為150°,則l與平面α所成的角為( 。
A、120°B、30°
C、60°D、150°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中點.

(1)求異面直線EB與AC所成角的余弦值;
(2)求點E到面ABC的距離.
(3)求二面角E-AB-C的平面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2 
4
+
y2
3
=1.
(1)過橢圓右焦點作垂直于x軸的直線AB,交橢圓于A,B兩點,F(xiàn)1是橢圓的左焦點,求三角形AF1B的周長;
(2)已知點P是橢圓
x2 
4
+
y2
3
=1上一點,且以點P及焦點F1、F2為頂點的三角形的面積等于1,求點P坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=
3
AD
,設(shè)點E是棱PB上的動點(不含端點),過點A,D,E的平面交棱PC于點F.
(1)求證:BC∥EF;
(2)求二面角A-PB-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某電視臺在一次對文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中,隨機(jī)抽取了100名電視觀眾,相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:
文藝節(jié)目 新聞節(jié)目 總計
20歲到40歲 40 20 60
40歲以上 15 25 40
總計 55 45 100
(1)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中,隨機(jī)抽取9名,那么40歲以上的觀眾應(yīng)抽取幾名?
(2)由表中數(shù)據(jù)分析,我們能否有99%的把握認(rèn)為收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)?(最后結(jié)果保留3位有效數(shù)字,四舍五入)
附:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
(其中n=a+b+c+d)
P(K2≥k) 0.05 0.01 0.005 0.001
k 3.841 6.635 7.879 10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量:
a
=(2cos(x-
π
6
),2sin(x-
π
4
)),
b
=(cos(x-
π
6
),sin(x+
π
4
)),(x∈R),函數(shù)f(x)=
a
b
-1.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-
π
12
,
π
2
]上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1,(n∈N*),
(1)求證數(shù)列{an-n}為等比數(shù)列.
(2)判斷265是否是數(shù)列{an}中的項,若是,指出是第幾項,并求出該項以前所有項的和(不含265),若不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)F1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點,設(shè)橢圓C上的點A(1,
3
2
)到F1、F2兩點距離之和等于4,求橢圓C的方程和離心率.

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同步練習(xí)冊答案