Question

如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD．

(1)求證：EF∥平面PAD；

(2)求證：平面PAB⊥平面PCD．

 

Answer 1

【答案】

(1) 見解析(2) 見解析

【解析】本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．

（1）證明：連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，E為PC 的中點(diǎn)，證明EF∥PA，留言在線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PAD；

（2）先證明CD⊥PA，然后證明PA⊥PD．利用直線與平面垂直的判定定理證明PA⊥平面PCD，從而得到證明。

證明：(1)連結(jié)AC，則F是AC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，

故在△CPA中，EF∥PA，                 ……3分

又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴EF∥平面PAD．                       ……6分

(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．                           ……8分

又PA＝PD＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD．

又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD．

又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．   ……12分