Question

設(shè)2＜0＜α＜

π

2

＜β＜πZ，且sin(α+β)=

5

13

，cos

α

2

=

2 5

5

．
（1）求cosα 的值；
（2）證明：sinβ＞

25

26

．

Answer 1

分析：（1）利用倍角的余弦公式計算可得；
（2）根據(jù)角的范圍先求得sinα，cos（α+β）的值，再利用兩角差的正弦公式求得sinβ比較與

25

26

的大小．

解答：解：（1）cosα=2cos2

α

2

-1=2×

4

5

-1=

3

5

．
（2）∵0＜α＜

π

2

，∴sinα=

4

5

，
∵

π

2

＜α+β＜

3π

2

，∴cos（α+β）=-

12

13

，
sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=

5

13

×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

63

65

＞

50

52

=

25

26

．

點評：本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，半角的三角函數(shù)及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，求角的三角函數(shù)一定要分析角的范圍．