Question

已知函數(shù)f(x)=

3

x+1

，其定義域?yàn)閇2，5]，
（1）用定義證明：函數(shù)f（x）在定義域[2，5]上為減函數(shù)．
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）嚴(yán)格按照定義，先在區(qū)間[2，5]上任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形看符號(hào)，得到結(jié)論．
（2）由（1）得函數(shù)f(x)=

3

x+1

在區(qū)間[2，5]上為減函數(shù)．所以函數(shù)f（x）在端點(diǎn)處取得最值．

解答：（1）證明：任取x₁，x₂∈[2，5]，且x＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

3

x1+1

-

3

x2+1

=

3[(x2+1)-(x1+1)]

(x1+1)(x2+1)

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

因?yàn)?≤x₁＜x₂≤5，得，x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數(shù)f(x)=

3

x+1

在區(qū)間[2，5]上為減函數(shù)．
（2）解：由（1）得函數(shù)f(x)=

3

x+1

在區(qū)間[2，5]上為減函數(shù)．
所以函數(shù)f（x）在x=2時(shí)取得最大值，最大值為1；
在x=5時(shí)取得最小值，最小值為

1

2

．
所以函數(shù)的值域?yàn)?span id="shos3vb" class="MathJye">[

1

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及求最值，要注意在研究函數(shù)最值或值域時(shí)，一定要先研究單調(diào)性．