Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x，y∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)恒成立．有下列結(jié)論：①f（0）=0；②函數(shù)f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)；③函數(shù)f（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)；④若an+1=

2an

1+ a 2n

(n∈N*)，且a_n∈（-1，0）∪（0，1），則數(shù)列{f（a_n）}為等比數(shù)列．
其中你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)是______．

Answer 1

①由對(duì)任意x，y∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)恒成立．
取x=y=0，則f(0)-f(0)=f(

0-0

1-0

)=f(0)，所以f（0）=0，所以①正確；
②取x=0，y=x，則f(0)-f(x)=f(

0-x

1-0•x

)=f(-x)，即f（-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)，所以②正確；
③設(shè)-1＜x＜y＜1，則-2＜x＜0，xy＜1，1-xy＞0，所以

x-y

1-xy

＜0，
又

x-y

1-xy

+1=

x-y+1-xy

1-xy

=

(1-y)(1+x)

1-xy

＞0，
所以-1＜

x-y

1-xy

＜0，
若f(

x-y

1-xy

)＞0，則f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)＞0，有f（x）＞f（y），此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，
所以③不正確；
④由f(an)+f(an)=f(an)-f(-an)=f(

2an

1+an2

)=f（a_n+1），所以f（a_n+1）=2f（a_n），
又a_n∈（-1，0）∪（0，1），所以f（a_n）≠0，所以數(shù)列{f（a_n）}為等比數(shù)列．
所以④正確．
故答案為①②④．