Question

證明：ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈正整數(shù)）．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，利用導(dǎo)數(shù)法可證得ln（1+x）≤x（當(dāng)x≠0時，ln（1+x）＜x），令x=

1

n

，利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)及累加法求和即可證得結(jié)論成立．

解答： 證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，
則f′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

，
當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
所以，當(dāng)x=0時，f（x）=ln（1+x）-x取得極大值，也是最大值，
所以，f（x）≤f（0）=0，即ln（1+x）≤x，當(dāng)x≠0時，ln（1+x）＜x．
令x=

1

n

，
則ln（1+

1

n

）=ln（n+1）-lnn＜

1

n

，即

1

n

＞ln（n+1）-lnn，
∴1＞ln2-ln1，

1

2

＞ln3-ln2，
…

1

n-1

＞lnn-ln（n-1）]，

1

n

＞ln（n+1）-lnn，
以上n個不等式相加得：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）-ln1=ln（n+1）（得證）．

點評：本題考查不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，利用導(dǎo)數(shù)法證得ln（1+x）≤x是關(guān)鍵，也是難點，考查創(chuàng)新思維、化歸思想與推理論證能力，屬于難題．