Question

已知異面直線l₁和l₂，l₁⊥l₂，MN是l₁和l₂的公垂線，MN = 4，A∈l₁，B∈l₂，AM = BN = 2，O是MN中點．① 求l₁與OB的成角．②求A點到OB距離．

Answer 1

解析:

本題若將條件放入立方體的“原型”中，抓住“一個平面四條線”的圖形特征及“直線平面垂直”的關鍵性條件，問題就顯得簡單明了．

（1）如圖，畫兩個相連的正方體，將題目條件一一標在圖中．

OB在底面上射影NB⊥CD，由三垂線定理，OB⊥CD，又CD∥MA，

∴ OB⊥MA 即OB與l₁成90°

（2）連結BO并延長交上底面于E點．

∥

ME = BN，

∴ ME = 2，又 ON = 2

∴ ．

作AQ⊥BE，連結MQ．

對于平面EMO而言，AM、AQ、MQ分別為垂線、斜線、斜線在平面內的射影，由三垂線逆定理得MQ⊥EO．

在Rt△MEO中，．

評述：又在Rt△AMQ中，，本題通過補形法使較困難的問題變得明顯易解；求點到直線的距離，仍然是利用直線與平面垂直的關鍵條件，抓住“一個面四條線”的圖形特征來解決的．