Question

如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，A₁、A₂、A₃、A₄是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處，今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，同時以每10分鐘一格的速度分別向N，M處行走，直到到達N，M為止．
（1）求甲經(jīng)過A₂的概率；
（2）求甲、乙兩人相遇經(jīng)A₂點的概率；
（3）求甲、乙兩人相遇的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是C₆³，滿足條件的事件是甲經(jīng)過A₂到達N，可分為兩步：甲從M經(jīng)過A₂的方法數(shù)C₃¹種；甲從A₂到N的方法數(shù)C₃¹種；根據(jù)分步計數(shù)原理得到結果數(shù)，求出概率．
（2）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)是C₆³C₆³，甲經(jīng)過A₂的方法數(shù)為（C₃¹）²；乙經(jīng)過A₂的方法數(shù)也為（C₃¹）²，得到甲、乙兩人相遇經(jīng)A₂點的方法數(shù)為（C₃¹）⁴，根據(jù)概率公式得到結果．
（3）甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在A₁、A₂、A₃、A₄處相遇，他們在A_i（i=1，2，3，4）相遇的走法有（C₃^i-1）⁴種方法，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結果數(shù)，求得概率．

解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發(fā)生包含的事件
滿足條件的事件是甲經(jīng)過A₂到達N，
可分為兩步：
第一步：甲從M經(jīng)過A₂的方法數(shù)：C₃¹種；
第二步：甲從A₂到N的方法數(shù)：C₃¹種；
∴甲經(jīng)過A₂的方法數(shù)為（C₃¹）²；
∴甲經(jīng)過A₂的概率P=

( C 1 3 )2

C 3 6

=

9

20

．

（2）由（1）知：甲經(jīng)過A₂的方法數(shù)為：（C₃¹）²；
乙經(jīng)過A₂的方法數(shù)也為：（C₃¹）²；
∴甲、乙兩人相遇經(jīng)A₂點的方法數(shù)為：（C₃¹）⁴=81；
∴甲、乙兩人相遇經(jīng)A₂點的概率P=

( C 1 3 )4

C 3 6 C 3 6

=

81

400

．

（3）甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在A₁、A₂、A₃、A₄處相遇，
他們在A_i（i=1，2，3，4）相遇的走法有（C₃^i-1）⁴種方法；
∴（C₃⁰）⁴+（C₃¹）⁴+（C₃²）⁴+（C₃³）⁴=164
∴甲、乙兩人相遇的概率P=

164

400

=

41

100

．

點評：本題考查等可能事件的概率，考查分類計數(shù)原理，考查分步計數(shù)原理，是一個綜合題，注意題目中出現(xiàn)的對兩個人相遇的理解．