Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1）），以A，B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e₁．以C，D為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e₁，動(dòng)點(diǎn)E在邊AB上，且|AE|＜e₁+e₂，對(duì)x∈（0，1）恒成立，則|AE|的最大值為（　�。�

• A、

  3

• B、2
• C、

  5

• D、不存在

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)余弦定理表示出BD，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義可得到a₁的值，再由AB=2c₁，e=

c

a

可表示出e₁，同樣表示出橢圓中的c₂和a₂表示出e₂的關(guān)系式，然后利用換元法求出e₁+e₂的取值范圍，再由恒成立思想即可得到所求最大值．

解答： 解：在等腰梯形ABCD中，BD²=AD²+AB²-2AD•AB•cos∠DAB
=1+4-2×1×2×（1-x）=1+4x，
由雙曲線的定義可得a₁=

1+4x -1

2

，c₁=1，e₁=

2

1+4x -1

；
由橢圓的定義可得a₂=

1+4x +1

2

，c₂=x，e₂=

2x

1+4x +1

，
則e₁+e₂=

2

1+4x -1

+

2x

1+4x +1

=

2

1+4x -1

+

1+4x -1

2

，
令t=

1+4x

-1∈（0，

5

-1），
則e₁+e₂=

1

2

（t+

4

t

）在（0，

5

-1）上遞減，
則e₁+e₂＞

1

2

×（

5

-1+

4

5 -1

）=

5

，
則有e₁+e₂的取值范圍為（

5

，+∞）．
由于|AE|＜e₁+e₂，對(duì)x∈（0，1）恒成立，
則有|AE|≤

5

．
即有|AE|的最大值為

5

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)、雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．