在直三棱柱ABC—A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直線B′C與平面ABC成30°的角.(如圖所示)
(1)求點C′到平面AB′C的距離;(2)求二面角B-B′C—A的余弦值.
(1)∵ABC—A′B′C′是直三棱柱,∴A′C′∥AC,AC平面AB′C,∴A′C′∥平面AB′C,于是C′到平面AB′C的距離等于點A′到平面AB′C的距離,作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′,∴A′M⊥平面AB′C,A′M的長是A′到平面AB′C的距離.
∵AB=B′B=1,⊥B′CB=30°,∴B′C=2,BC=,AB′=
,A′M=
=
.即C′到平面AB′C的距離為
;
(2)作AN⊥BC于N,則AN⊥平面B′BCC′,作NQ⊥B′C于Q,則AQ⊥B′C,∴∠AQN是所求二面角的平面角,AN==
,AQ=
=1.∴sin∠AQN=
=
,cos∠AQN=
.
說明 利用異面直線上兩點間的距離公式,也可以求二面角的大小,如圖,AB=BB′=1,∴AB′=,又∠B′CB=30°,
∴BC=
,B′C=2,AC=
.作AM⊥B′C于M,BN⊥B′C于N,則AM=1,BN=
,
CN=,CM=1,∴MN=
.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C,∴BN與AM所成的角等于二面角B—B′C—A的平面角.設為θ.由AB2=AM2+BN2+MN2-2AM×BN×cosθ得cosθ=
=
.
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