Question

函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且當x＞0時，f(x)＞1．

(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m²－m－2)＜3．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：設x1，x2∈R，且x1＜x2，則Δx＝x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1． 　　f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1) 　　＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1) 　�。絝(x2－x1)－1＞0，∴f(x2)＞f(x1)． 　　即f(x)是R上的增函數(shù)． 　　(2)解：∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5． 　　∴f(2)＝3，∴原不等式可化為 　　f(3m2－m－2)＜f(2)． 　　∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m2－m－2＜2，

提示：

分析：(1)是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，所以要用單調(diào)性定義． 　　(2)將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號“f”運用單調(diào)性“去掉”，為此需將右邊常數(shù)3看成某個變量的函數(shù)值． 　　解題心得：f(x)在定義域上(或某一單調(diào)區(qū)間上)具有單調(diào)性，則f(x1)＜f(x2)f(x1)－f(x2)＜0；若是增函數(shù)，則f(x1)＜f(x2)x1＜x2．函數(shù)不等式(或方程)的求解，總是想方設法去掉抽象的函數(shù)符號，化為一般的不等式(或方程)求解，必須在定義域上(或給定范圍內(nèi))進行．