Question

已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=

1nx

x

（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=

1nx

x

的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）求證

1n2

2 4

+

1n3

3 4

+…+

1nn

n 4

＜

1

2e

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)h（x）=

lnx

x2

，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知

lnx

x2

≤

1

2e

，即

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

（x≥2），利用放縮法，證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵g（x）=

1nx

x

，x＞0，故其定義域?yàn)椋?，+∞）
∴g′（x）=

1-lnx

x2

，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e
令g′（x）＜0，得x＞e
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．
（Ⅱ）∵x＞0，kx≥

1nx

x

∴k≥

lnx

x2

，
令h（x）=

lnx

x2

，
∴h′（x）=

1-2lnx

x3

令h′（x）=0，解得x=

e

，
當(dāng)x在（0，+∞）內(nèi)變化時(shí)，h′（x），h（x）變化如下表

x	（0， e ）	e	（ e ，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	↗	1 2e	↘

由表知，當(dāng)時(shí)函數(shù)h（x）有最大值，且最大值為

1

2e

，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍[

1

2e

，+∞）
（Ⅲ），由（Ⅱ）知

lnx

x2

≤

1

2e

，
∴

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

（x≥2），
∴

1n2

2 4

+

1n3

3 4

+…+

1nn

n 4

＜

1

2e

（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜

1

2e

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

）=

1

2e

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]=

1

2e

（1-

1

n

）＜

1

2e

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用以及利用放縮法證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．