Question

17．已知曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲線C₁與C₂交點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）A，B兩點(diǎn)分別在曲線C₁與C₂上，當(dāng)|AB|最大時(shí)，求△OAB的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲線C₁，C₁的平面直角坐標(biāo)方程，把兩式作差，得y=-x，代入x²+y²=4y，能求出曲線C₁與C₂交點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)．
（Ⅱ）作出圖形，由平面幾何知識(shí)求出當(dāng)|AB|最大時(shí)|AB|=2$\sqrt{2}+4$，O到AB的距離為$\sqrt{2}$，由此能求出△OAB的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C₁的平面直角坐標(biāo)方程為（x+2）²+y²=4．
又由曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ，
得ρ²=4ρsinθ，∴x²+y²=4y，
把兩式作差，得y=-x，
代入x²+y²=4y，得2x²+4x=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴曲線C₁與C₂交點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)為（0，0），（-2，2）．
（Ⅱ）如圖，由平面幾何知識(shí)可知：
當(dāng)A，C₁，C₂，B依次排列且共線時(shí)，
|AB|最大，此時(shí)|AB|=2$\sqrt{2}+4$，
O到AB的距離為$\sqrt{2}$，
∴△OAB的面積為S=$\frac{1}{2}（2\sqrt{2}+4）•\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩曲線交點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程間的相互轉(zhuǎn)化及應(yīng)用．