Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2x
（1）證明函數(shù)f（x）在（-∞，1]上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[-5，-2]時(shí)，f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)？

Answer 1

解：（1）方法一：任取x₁，x₂∈（-∞，1]，x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-2），
∵x₁＜x₂≤1，∴x₂+x₁-2＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=-x²+2x在（-∞，1]上是增函數(shù)；
方法二：
∵f^′（x）=-2x+2=-2（x-1），當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，x-1＜0，∴-2（x-1）＞0，
∴f^′（x）＞0在x∈（-∞，1）上恒成立．
故f（x）在（-∞，1]上是增函數(shù)．
2）∵f（x）在（-∞，1]上是增函數(shù)，
而[-5，-2]是區(qū)間（-∞，1]的子區(qū)間，∴f（x）在[-5，-2]上是增函數(shù)．
分析：（1）證明本題的大前提是增函數(shù)的定義，即增函數(shù)f（x）滿足：
在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個(gè)值x₁，x₂且x₁＜x₂，f（x₁）＜f（x₂），
小前提是函數(shù)f（x）=-x²+2x，x∈（-∞，1]，結(jié)論滿足增函數(shù)定義．
（2）關(guān)鍵是看[-5，-2]與f（x）的增區(qū)間或減區(qū)間的關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷問題．函數(shù)的單調(diào)性判斷一般有兩種方法，即定義法和求導(dǎo)判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)．